\chapter{Solucionando o Virial}

%\begin{flushright}
%{\it \footnotesize
%One does not discover new continents without  \\
%consenting to lose sight of the shore for a very long time.  
%}
%\vspace{.5cm}
%
%Andre Gide
%
%\vspace{.5cm}
%
%\rule{8cm}{.5pt}
%\end{flushright}

\section{Solucionando o Virial usando RBF}

\subsection{Modelo}

As propriedades termodin\^{a}micas do sistema, em especial o segundo 
coeficiente do virial, $B(T)$, podem ser descritas por uma fun\c{c}\~{a}o param\'{e}trica (Se\c{c}\~{a}o \ref{LABVIR-REDES}),
onde os coeficientes ir\~{a}o definir a forma final da fun\c{c}\~{a}o.
Este coeficientes, rotulados de $d_1$ a $d_8$, ser\~{a}o ent\~{a}o considerados no 
problema inverso como a entrada da rede neural.

Da mesma forma, a energia potencial pode ser modelada por um conjunto de 
coeficientes (Se\c{c}\~{a}o \ref{LABVIR-REDES}).  
Ser\~{a}o cobertos aqui os coeficientes respons\'{a}veis pelas intera\c{c}\~{o}es de longo 
alcance, ou seja, $C_6$, $C_8$ e $C_{10}$. Estes tr\^{e}s coeficientes ir\~{a}o modelar a 
gera\c{c}\~{a}o de intera\c{c}\~{o}es instant\^{a}neas de dipolo-dipolo, quadrupolo-quadrupolo e 
octopolo-octopolo, respectivamente (Se\c{c}\~{a}o \ref{LAB-DIPOLO-DIPOLO}).
Eles  formar\~{a}o a sa\'{\i}da da rede neural e, consequentemente, 
a poss\'{\i}vel solu\c{c}\~{a}o do problema inverso.

De uma forma geral, espera-se que a rede neural, \`{a} partir de um conjunto
de dados que relaciona coeficientes de entrada e sa\'{\i}da para v\'{a}rios tipos
de mol\'{e}culas diferentes, seja capaz de fornecer as constantes de sa\'{\i}da que
representam as fun\c{c}\~{o}es termodin\^{a}micas de mol\'{e}culas ainda n\~{a}o treinadas.
Trabalhos similares, utilizando redes neurais em problemas inversos 
parametrizados podem ser encontrados na literatura \cite{ELIZEU9701}.

Uma rede neural inicialmente proposta pode ser visualizada na figura \ref{FIG0101}.
Nesta rede \'{e} feita a tentativa de se prever $C_6$, $C_8$ e $C_{10}$ de uma s\'{o}
vez. Esta rede, mostrou-se ineficiente na resolu\c{c}\~{a}o do problema. As constantes
de sa\'{\i}da fornecidas pela rede n\~{a}o apresentaram bons resultados em um teste 
de generaliza\c{c}\~{a}o.

%\placedrawing{rede01.lp}{Topologia inicial da rede neural}{FIG0101}
\begin{figure}[tbh]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{virirbf3.ps}
\end{center}
\caption{Topologia inicial da rede neural}
\label{FIG0101}
\end{figure}

Optou-se ent\~{a}o por construir uma rede independente para cada constante de sa\'{\i}da,
que apresentou melhores resultados. Com esta particulariza\c{c}\~{a}o poder-se-ia tamb\'{e}m adquirir
uma maior conhecimento do problema, ou seja, qual a influ\^{e}ncia de cada constante 
isoladamente na solu\c{c}\~{a}o. Uma representa\c{c}\~{a}o pode ser vista na Figura \ref{FIG0102}.

%\placedrawing{rede02.lp}{Topologia efetivamente utilizada}{FIG0102}
\begin{figure}[tbh]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{virirbf1.ps}
\end{center}
\caption{Topologia efetivamente utilizada}
\label{FIG0102}
\end{figure}

\subsection{Conjunto de dados}

No trabalho de Huxley e colaboradores \cite{HUXLEY8301} podem ser encontrados, para v\'{a}rios sistemas 
qu\'{\i}micos, os par\^{a}metros que governam o modelo da equa\c{c}\~{a}o do potencial intermolecular 
(Equa\c{c}\~{a}o \ref{EQPOTENCIALGERAL}).
Uma vez que se tem o potencial, o segundo coeficiente do virial
pode ser calculado (Equa\c{c}\~{a}o \ref{eq:vies}) para valores de temperatura 
diferentes atrav\'{e}s de um processo de integra\c{c}\~{a}o, gerando uma tabela para $B(T)$. Esta tabela \'{e} 
finalmente ajustada \`{a} equa\c{c}\~{a}o que descreve o virial em sua forma parametrizada 
(Equa\c{c}\~{a}o \ref{EQVIRIALPARAM}). Este \'{e} o problema direto e n\~{a}o oferece grandes dificuldades. 

Dessa forma, cada sistema passar\'{a} a ser descrito por dois conjuntos de par\^{a}metros, 
um representado o segundo coeficiente do virial e o outro o potencial intermolecular, 
formando um par de vetores de entrada e sa\'{\i}da para a rede.
O conjunto de dados utilizados consiste de 36 sistemas qu\'{\i}micos onde foi aplicado
o processo acima descrito. Isto ser\'{a} muito importante porque permitir\'{a} confrontar
os resultados obtidos para o potencial com aqueles encontrados no artigo de Huxley. 

Os 36 sistemas s\~{a}o os seguintes: HeHe, HeNe, HeAr, HeKr, NeNe, NeAr, NeKr, NeXe, ArAr, ArKr, ArXe, 
KrKr, KrXe, XeXe, HeH , NeH , ArH , KrH , XeH , KrF , XeF , XeCl, ArBr, KrBr, XeBr, KrI , XeI , LiNe, LiAr, 
LiKr, NaAr, NaKr, BeBe, LiLi, NaNa e HH.

\subsection{Pr\'{e}-tratamento dos dados com PCA}

Como  j\'{a} visto no cap\'{\i}tulo sobre RBF (Cap\'{\i}tulo \ref{CAPRBF}), a rede neural RBF representa
um mapeamento multidimensional entre o conjunto de entrada e o conjunto de sa\'{\i}da. 
Apesar deste mapeamento n\~{a}o ser, em geral, linear, a aplica\c{c}\~{a}o de PCA (Ap\^{e}ndice \ref{LAB-PCA})
no conjunto de entrada parece ser interessante.
Isto permitiria simplificar a representa\c{c}\~{a}o dos dados (atrav\'{e}s da elimina\c{c}\~{a}o de
conjuntos n\~{a}o estatisticamente muito significativos e consequente redu\c{c}\~{a}o
da dimens\~{a}o do conjunto de entrada) e assim diminuir o trabalho
da rede durante o treinamento, al\'{e}m de melhorar a sua capacidade de generaliza\c{c}\~{a}o.

Apesar deste objetivo inicial n\~{a}o ter sido cumprido, como ir\'{a} ser mostrado 
a seguir, o PCA revelou-se um excelente m\'{e}todo estat\'{\i}stico
para a elimina\c{c}\~{a}o de sistemas qu\'{\i}micos que poderiam interferir sobremaneira
no treinamento e capacidade de generaliza\c{c}\~{a}o da RBF.

\subsubsection{Avaliando a transforma\c{c}\~{a}o}

Como o conjunto de dados de entrada apresenta uma caracter\'{\i}stica de mal
condicionamento, a aplica\c{c}\~{a}o do PCA passa a n\~{a}o produzir resultados precisos quando
\'{e} realizada a transforma\c{c}\~{a}o para redu\c{c}\~{a}o de dimens\~{a}o e a posterior transforma\c{c}\~{a}o
inversa para recupera\c{c}\~{a}o dos dados originais.

Apesar disso, a t\'{e}cnica de PCA se mostrou muito adequada para analisar o desempenho 
de cada sistema pertencente ao conjunto de dados, atrav\'{e}s da defini\c{c}\~{a}o de um crit\'{e}rio de avalia\c{c}\~{a}o
que consiste em realizar a transforma\c{c}\~{a}o nos dados de 
entrada sem nenhuma redu\c{c}\~{a}o de dimens\~{a}o e depois aplicar a transforma\c{c}\~{a}o inversa.
A matriz original e o resultado das duas transforma\c{c}\~{o}es podem ser ent\~{a}o comparados e 
o erro m\'{e}dio percentual entre o vetor original e o recuperado calculado.
Isto permite que vetores com resultados piores sejam descartados da an\'{a}lise.

Isto est\'{a} representado esquematicamente, a seguir:
\begin{center}
Dados $\rightarrow$  \framebox{Transf. direta}$\rightarrow$  Dados em outra base
$\rightarrow$  \framebox{Transf. inversa}$\rightarrow$ Dados' 
\end{center}

\begin{equation}
Erro\%=\frac{100}p\sum_i\left| \frac{Dados_i-Dados_i^{\prime }}{Dados_i}\right| 
\end{equation}

Para casos de
dados de entrada bem condicionados, este erro est\'{a} pr\'{o}ximo de zero, diferindo
apenas por quest\~{o}es de precis\~{a}o num\'{e}rica da m\'{a}quina utilizada. J\'{a} para matrizes mal 
condicionadas o que se verificou \'{e} o aparecimento de erros elevados.

Foi utilizado neste experimento o conjunto original de dados, composto de 36
sistemas.

\subsubsection{Dados sem qualquer elimina\c{c}\~{a}o}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|}\hline
Num. &  Sistema & Erro percentual & Num. & Sistema & Erro percentual \\ \hline\hline
1	&	HeHe	&	10,43\%	& 19	&	XeH 	&	104,87\%	\\ \hline
2	&	HeNe	&	15,78\%	& 20	&	KrF 	&	118,42\%	\\ \hline
3	&	HeAr	&	54,74\%	& 21	&	XeF 	&	122,72\%	\\ \hline
4	&	HeKr	&	75,35\%	& 22	&	XeCl	&	122,88\%	\\ \hline
5	&	NeNe	&	75,40\%	& 23	&	ArBr	&	132,72\%	\\ \hline
6	&	NeAr	&	76,65\%	& 24	&	KrBr	&	155,54\%	\\ \hline
7	&	NeKr	&	77,43\%	& 25	&	XeBr	&	160,85\%	\\ \hline
8	&	NeXe	&	77,95\%	& 26	&	KrI 	&	172,21\%	\\ \hline
9	&	ArAr	&	78,81\%	& 27	&	XeI 	&	178,81\%	\\ \hline
10	&	ArKr	&	83,68\%	& 28	&	LiNe	&	197,40\%	\\ \hline
11	&	ArXe	&	87,17\%	& 29	&	LiAr	&	240,38\%	\\ \hline
12	&	KrKr	&	87,61\%	& 30	&	LiKr	&	249,46\%	\\ \hline
13	&	KrXe	&	87,66\%	&31	&	NaAr	&	278,86\%	\\ \hline
14	&	XeXe	&	87,91\%	& 32	&	NaKr	&	292,17\%	\\ \hline
15	&	HeH 	&	88,18\%	& 33	&	BeBe	&	356,67\%	\\ \hline
16	&	NeH 	&	88,90\%	& 34	&	LiLi	&	563,49\%	\\ \hline
17	&	ArH 	&	100,50\%	& 35	&	NaNa	&	686,26\%	\\ \hline
18	&	KrH 	&	101,23\%	& 36	&	HH  	&	1892,69\% \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Erro m\'{e}dio para 36 sistemas ap\'{o}s aplica\c{c}\~{a}o do PCA}
\label{TABSEMELIM}
\end{center}
\end{table}

O primeiro teste considerou todo o conjunto de dados, sem que fosse
feita uma elimina\c{c}\~{a}o sequer. Isto seria bastante interessante para se 
verificar a validade do PCA. Os resultados para este teste est\~{a}o 
representados na Tabela \ref{TABSEMELIM} e Figura \ref{FIGSEMELIM}.
Como se pode notar, o erro \'{e} bastante elevado, mesmo sem qualquer 
tipo de redu\c{c}\~{a}o de dimens\~{a}o. Isto se deve em parte ao mal condicionamento
do conjunto de entrada (da ordem de $10^{20}$) e tamb\'{e}m
ao fato de se possuir valores muito discrepantes no conjunto.

\begin{figure}[tb]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8.5cm]{semelim.ps}
\caption{Erro m\'{e}dio para 36 sistemas ap\'{o}s aplica\c{c}\~{a}o do PCA}
\label{FIGSEMELIM}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Dados com elimina\c{c}\~{a}o atrav\'{e}s do PCA}

Como os erros obtidos no experimento anterior s\~{a}o um pouco
elevados e comprovadamente inadequados para uso como padr\~{o}es
para o treinamento, passa a ser interessante um teste onde os 
sistemas com pior desempenho fossem eliminados. 
Assim, os sistemas ArAr, ArKr, ArXe, ArBr, XeI,
LiAr, NaAr e BeBe foram ent\~{a}o retirados e o resultado obtido pode ser 
visto na Tabela \ref{TABCOMELIM} e Figura \ref{FIGCOMELIM}.

A elimina\c{c}\~{a}o destes 8 sistemas permitiu que a rede fosse treinada com
sucesso para os 28 sistemas restantes. Ser\'{a} este conjunto de dados 
o utilizado nos experimentos posteriores.

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|}\hline
Num. & Sistema & Erro percentual & Num. & Sistema & Erro percentual \\ \hline\hline
1	&	XeF 	&	10,43\%	& 15	&	LiNe	&	88,18\%	\\ \hline
2	&	NaNa	&	15,78\%	& 15	&	LiNe	&	88,18\%	\\ \hline
3	&	XeCl	&	54,74\%	& 17	&	HH  	&	100,50\%	\\ \hline
4	&	HeKr	&	75,35\%	& 18	&	NaKr	&	101,23\%	\\ \hline
5	&	HeAr	&	75,40\%	& 19	&	HeH 	&	104,87\%	\\ \hline
6	&	NeAr	&	76,65\%	& 20	&	ArH 	&	118,42\%	\\ \hline
7	&	HeNe	&	77,43\%	& 21	&	LiLi	&	122,72\%	\\ \hline
8	&	NeKr	&	77,95\%	& 22	&	XeXe	&	122,88\%	\\ \hline
9	&	NeH 	&	78,81\%	& 23	&	XeBr	&	132,72\%	\\ \hline
10	&	HeHe	&	83,68\%	& 24	&	KrF 	&	155,54\%	\\ \hline
11	&	KrI 	&	87,17\%	& 25	&	KrKr	&	160,85\%	\\ \hline
12	&	NeNe	&	87,61\%	& 26	&	LiKr	&	172,21\%	\\ \hline
13	&	KrH 	&	87,66\%	& 27	&	KrBr	&	178,81\%	\\ \hline
14	&	NeXe	&	87,91\%	& 28	&	KrXe	&	197,40\%	\\ \hline
\end{tabular}
\caption{Erro m\'{e}dio para 28 sistemas ap\'{o}s aplica\c{c}\~{a}o do PCA}
\label{TABCOMELIM}
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}[tb]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8.5cm]{compca.ps}
\caption{Erro m\'{e}dio para 28 sistemas ap\'{o}s aplica\c{c}\~{a}o do PCA}
\label{FIGCOMELIM}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Escolha do m\'{e}todo de sele\c{c}\~{a}o de centros}

Na sele\c{c}\~{a}o dos centros das RBF foram utilizados dois m\'{e}todos
(j\'{a} descritos no se\c{c}\~{a}o \ref{LBCENTROSRBF}):

\begin{itemize}
\item Centros fixos com regulariza\c{c}\~{a}o
\item {\em Forward Selection}
\end{itemize}

A utiliza\c{c}\~{a}o de centros fixos sem regulariza\c{c}\~{a}o foi inicialmente testada
tamb\'{e}m mas, devido aos p\'{e}ssimos resultados obtidos, foi descartado.
Isto era de certa forma esperado uma vez que o problema \'{e}, por 
natureza, mal colocado. Para se testar qual o melhor m\'{e}todo entre os
dois restantes, foi realizada uma simula\c{c}\~{a}o comparativa entre eles,
descrita a seguir.

\subsubsection{Descri\c{c}\~{a}o da simula\c{c}\~{a}o para escolha do m\'{e}todo de sele\c{c}\~{a}o}
\label{LAB-SIMUL-DESC}
O objetivo da simula\c{c}\~{a}o \'{e} descobrir, para o conjunto de dados utilizados, 
qual o m\'{e}todo de treinamento de RBF que apresenta melhores resultados
e qual deve ser o n\'{u}mero \'{o}timo de neur\^{o}nios para o conjunto de treinamento.
Para isto, cada m\'{e}todo \'{e} testado utilizando valida\c{c}\~{a}o cruzada \cite{GCV7901}
e os resultados finais s\~{a}o ent\~{a}o comparados.

Os passos adotados na simula\c{c}\~{a}o est\~{a}o sumariamente descritos a seguir:

\begin{enumerate}

\item
Um conjunto aleat\'{o}rio de treinamento e outro para valida\c{c}\~{a}o, de tamanho fixo,
s\~{a}o sorteados \`{a} partir do conjunto total de dados. Com estes conjuntos definidos, 
a rede \'{e} treinada e o erro quadr\'{a}tico m\'{e}dio por nodo obtido ao se aplicar a rede 
no conjunto de generaliza\c{c}\~{a}o \'{e} calculado.

\item 
Como o valor do raio para as RBFs, no momento do treinamento,  precisa ser fornecido, 
tentou-se estimar tamb\'{e}m um valor \'{o}timo para ele. Para isto foram feitos 20 treinamentos
utilizando-se o mesmo conjunto de treinamento e valida\c{c}\~{a}o, com o raio variando de 0 a 1, em 
incrementos de 0,05. Desta forma estar-se-ia utilizando um raio \'{o}timo com um erro 
m\'{a}ximo em torno de 2,5\%. Um algoritmo de minimiza\c{c}\~{a}o
poderia tamb\'{e}m ser utilizado para se descobrir o valor \'{o}timo do raio, ou mesmo uma outra rede
neural mas, por simplicidade e devido \`{a} pr\'{o}pria natureza do problema (onde cada avalia\c{c}\~{a}o
de fun\c{c}\~{a}o de custo iria corresponder a um treinamento completo da rede), foram utilizados 
apenas os 20 treinamentos com valores de raio diferentes.

\item 
Os passos 1 e 2 s\~{a}o repetidos v\'{a}rias vezes (no caso, 500 vezes), com 
novos conjunto sorteados aleatoriamente e o melhor resultado para cada 
valor de raio da RBF utilizado no treinamento \'{e} armazenado.
O melhor resultado de cada m\'{e}todo ser\'{a} utilizado para compara\c{c}\~{a}o. 
Como n\~{a}o \'{e} pr\'{a}tico ter um n\'{u}mero de simula\c{c}\~{a}o que se aproxime do n\'{u}mero de 
combina\c{c}\~{o}es poss\'{\i}veis de conjuntos de treinamento e valida\c{c}\~{a}o, este item da
simula\c{c}\~{a}o tem uma caracter\'{\i}stica estat\'{\i}stica.

\item
Os passos 1, 2 e 3 s\~{a}o repetidos para conjuntos de treinamento e valida\c{c}\~{a}o 
com n\'{u}mero de elementos diferentes. Neste experimento, o n\'{u}mero de sistemas na
valida\c{c}\~{a}o foi variado de 1 a 5. Apesar de se esperar uma aumento no erro de 
generaliza\c{c}\~{a}o quando se usa mais conjunto no conjunto de valida\c{c}\~{a}o,
pretendia-se descobrir o n\'{u}mero m\'{a}ximo de sistemas a generalizar que 
pudesse ser utilizado sem que o erro produzido seja significativo. 

\end{enumerate}

Uma outra peculiaridade da simula\c{c}\~{a}o (no fundo com o prop\'{o}sito de permitir uma
compara\c{c}\~{a}o mais justa de resultados entre m\'{e}todos de treinamento) est\'{a} relacionada
com o aumento do conjunto de valida\c{c}\~{a}o. Quando o conjunto de valida\c{c}\~{a}o \'{e} aumentado,
os sistemas que tivessem sido usados no treinamento anterior s\~{a}o preservados e 
apenas um n\'{u}mero de sistemas necess\'{a}rio para que se complete o novo tamanho do
conjunto de valida\c{c}\~{a}o \'{e} utilizado.

Por exemplo, suponha que apenas 1 sistema (designado de S1) tenha sido escolhido
para a valida\c{c}\~{a}o. Como o n\'{u}mero de simula\c{c}\~{o}es utilizado \'{e} maior que o conjunto 
total, de dados S1 ser\'{a}, estatisticamente, o sistema que possuir menor erro de generaliza\c{c}\~{a}o.
Aumentando-se o conjunto de valida\c{c}\~{a}o agora para 2, um novo elemento (S2)
ser\'{a} escolhido e se todas as permuta\c{c}\~{o}es poss\'{\i}veis com 2 elementos puderem
ser simuladas, o menor erro estaria garantido de novo, provavelmente com os
sistemas S1 e S2 com os menores erros. E assim, sucessivamente, os conjuntos
de valida\c{c}\~{a}o estariam crescendo mas mantendo os sistemas dos treinamentos
anteriores, o que seria muito importante para an\'{a}lise. Desta forma \'{e} que seria poss\'{\i}vel,
de uma forma mais justa, extrair informa\c{c}\~{o}es a respeito do aumento do erro de 
generaliza\c{c}\~{a}o de um determinado sistema quando o n\'{u}mero de sistemas a 
generalizar aumentasse.

Como n\~{a}o \'{e} poss\'{\i}vel fazer todas as permuta\c{c}\~{o}es, a  sequ\^{e}ncia pode n\~{a}o ser
mantida, prejudicando um pouco os resultados. Al\'{e}m disso, n\~{a}o existe uma
garantia de que o S1 e S2 ter\~{a}o menor erro a generalizar para 2 sistemas 
pelo fato de S1 ter sido o menor erro para 1 sistema a generalizar (indicando 
uma linearidade no problema, o que n\~{a}o \'{e} verdade). O que se espera \'{e} que este
seja apenas o comportamento {\em mais prov\'{a}vel} da rede.

\subsubsection{Resultados da simula\c{c}\~{a}o para escolha de centros}

As figuras no ap\^{e}ndice \ref{APCMPMET} mostram o resultado desta simula\c{c}\~{a}o para as constantes
$C_6$, $C_8$ e $C_{10}$. 
O que se pode notar \'{e} que a regulariza\c{c}\~{a}o 
apresenta um comportamento mais est\'{a}vel que o {\em Forward Selection}, como se exibisse
o comportamento m\'{e}dio deste \'{u}ltimo. Al\'{e}m disso, o erro para a regulariza\c{c}\~{a}o \'{e} menor 
quando o n\'{u}mero de sistemas a generalizar come\c{c}a a crescer. 
Este ser\'{a} o m\'{e}todo adotado para a solu\c{c}\~{a}o do problema do virial.

\subsection{Generaliza\c{c}\~{a}o}

Uma vez definido o m\'{e}todo de escolha de centros, todos os par\^{a}metros da rede est\~{a}o 
finalmente determinados e a capacidade de generaliza\c{c}\~{a}o da rede pode ser ent\~{a}o 
avaliada. 

Com este objetivo, uma simula\c{c}\~{a}o igual \`{a} descrita na Se\c{c}\~{a}o \ref{LAB-SIMUL-DESC} foi
novamente feita, s\'{o} que agora com 3276 itera\c{c}\~{o}es \footnote{Este \'{e} o n\'{u}mero de combina\c{c}\~{o}es
3 a 3 existentes em 28 sistemas. Pretendia-se com isso que todas as 
combina\c{c}\~{o}es 3 a 3 fossem estatisticamente avaliadas.} e usando-se somente 
centros fixos com regulariza\c{c}\~{a}o.
O resultado completo desta simula\c{c}\~{a}o podem ser vistos no Ap\^{e}ndice \ref{LAB-RGFINAL},
sendo repetido aqui apenas os dados mais relevantes para a discuss\~{a}o.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline 
Num. de sistemas a generalizar   &          C6   &       C8  &       C10 \\ \hline \hline
1 & 0,0560237 & 0,130491 & 6,86699 \\ \hline
2 & 0,071073   & 0,57499 &   3,7328  \\ \hline
3 & 0,20048     & 4,589036  & 40,1238 \\ \hline
4 & 0,48243   &  10,364598 & 22,82013 \\ \hline
5 & 0,68499  &   5,05406   & 75,5099 \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Erro quadr\'{a}tico m\'{e}dio ao se aumentar o n\'{u}mero de sistemas a generalizar, 
em valores absolutos, para simula\c{c}\~{a}o com 28 sistemas.}
\label{TAB-ERR-MED-SIST}
\end{center}
\end{table}

A Tabela \ref{TAB-ERR-MED-SIST} mostra como o erro aumenta quando o n\'{u}mero de 
sistemas a generalizar cresce. Este resultado \'{e} tamb\'{e}m teoricamente esperado, uma vez
que a rede possui cada vez menos informa\c{c}\~{a}o para realizar a interpola\c{c}\~{a}o devido a 
diminui\c{c}\~{a}o do n\'{u}mero de conjuntos utilizados no treinamento.
Atrav\'{e}s desta tabela decidiu-se reconstruir o potencial de longo alcance 
para o caso onde se tem 3 sistemas a generalizar, uma vez que o erro m\'{e}dio 
por nodo ainda se apresentava razo\'{a}vel. Os sistemas provenientes da 
simula\c{c}\~{a}o foram HeNe, NeAr e NeNe.

Os erros percentuais para as constantes  $C_6$, $C_8$ e $C_{10}$, ao se usar 3 sistemas 
no conjunto de generaliza\c{c}\~{a}o, est\~{a}o representados na Tabela \ref{TAB-ERR-MED-CONST}. 
Apesar do erro m\'{e}dio crescer de $C_6$ para $C_{10}$, \'{e} importante notar que a contribui\c{c}\~{a}o 
destes coeficientes descresce de $C_6$ para $C_{10}$ (Equa\c{c}\~{a}o \ref{EQPOTENCIALGERAL}), 
de forma que os erros de $C_8$ e $C_{10}$ s\~{a}o menos decisivos na determina\c{c}\~{a}o do 
potencial intermolecular.

Pela Tabela  \ref{TAB-ERR-MED-CONST} pode-se notar tamb\'{e}m que, mesmo o erro m\'{e}dio 
entre todos os coeficientes estando em torno de 46\%, o erro m\'{e}dio para a constante $C_6$ 
\'{e} de apenas $4,26\%$, permitindo que o potencial possa ser reconstru\'{\i}do. 
Em especial, o sistema NeAr apresenta um erro m\'{e}dio para as 3 constantes igual a 1,89\%, 
sendo um resultado bastante razo\'{a}vel, ainda mais quando se leva em conta que est\~{a}o sendo 
generalizados 3 sistemas de uma s\'{o} vez.

Conforme esperado, os sistemas onde a constante $C_6$ \'{e} mais precisa obtiveram 
uma curva de potencial de longo alcance mais pr\'{o}xima da curva real (Figura \ref{FIG28LR}). 
O sistema NeNe apresentou o pior resultado, mas ainda assim apenas na regi\~{a}o onde o 
potencial de curto alcance passa a se tornar importante, interferindo na interpola\c{c}\~{a}o. 
Ao se analisar todo o potencial 
intermolecular (Figura \ref{FIG28POT}) esta observa\c{c}\~{a}o fica evidente.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||ccc|c|} \hline
\multicolumn{5}{|c|}{Erro percentual} \\ \hline
 & HeNe & NeAr & NeNe & M\'{e}dia  \\ \hline \hline
$C_6$	&	1,26 	& 	1,15 	& 	10,42 	& 	4,28 	\\
$C_8$	&	107,81 	& 	2,56	& 	42,40 	&	50,92	\\
$C_{10}$	&	64,46 	& 	1,95 	& 	187,63 	&	84,68	\\ \hline
M\'{e}dia 	& 	27,84	&  	1,89	&  	80,15  	& \    {\bf 46,63}	\\ \hline
\end{tabular}
\caption{Erro percentual por constante, para 3 sistemas a generalizar, usando-se 28 sistemas.}
\label{TAB-ERR-MED-CONST}
\end{center}
\end{table}

Na tentativa de se obter resultados mais precisos, resolveu-se utilizar 
o fato de que fam\'{\i}lias qu\'{\i}micas apresentam potenciais mais similares. 
Este fato pode ser comprovado pela tabela de erros geradas pelo 
PCA (Tabela \ref{TABSEMELIM}), onde os sistemas que apresentam erros
menores s\~{a}o todos da fam\'{\i}lia dos gases nobres, reenfor\c{c}ando o fato da 
exist\^{e}ncia de uma afinidade de potenciais.
Dessa forma, um subconjunto formado apenas por gases nobres, com 
15 sistemas, foi utilizado novamente para o treinamento da rede. O n\'{u}mero 
de neur\^{o}nios a generalizar foi fixado em 3.  Os sistemas com 
melhores resultados foram HeNe, HeKr e ArKr.

A simula\c{c}\~{a}o foi repetida e os potenciais de longo alcance est\~{a}o representados 
na Figura \ref{FIG15LR}. Como se pode notar pela Tabela \ref{TAB-ERR-MED-CONST15}, 
o erro m\'{e}dio entre todos os coeficientes caiu para 15,07\%, principalmente por causa da 
redu\c{c}\~{a}o do erro m\'{e}dio de $C_8$ e $C_{10}$. A reconstru\c{c}\~{a}o de todo 
potencial pode ser visto na Figura \ref{FIG15POT}. De novo, ao potencial
de longo alcance calculado pela rede foi somada a parte de curto alcance 
retirada da literatura. Os novos resultados s\~{a}o visivelmente melhores, apesar 
de o sistema HeNe ter se tornado ligeiramente pior.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||ccc|c|} \hline
\multicolumn{5}{|c|}{Erro percentual} \\ \hline
	 &	HeNe	&	HeKr	&	ArKr 	&	M\'{e}dia  \\ \hline \hline
$C_6$	&	5,67	&	4,65	&	0,03	&	3,45  \\ 
$C_8$	&	40,22	&	16,71	&	0,05	&	19,00 \\ 
$C_{10}$	&	51,84	& 	16,42	&	0,054	&	22,77 \\ \hline
M\'{e}dia	&	32,58	&	12,59	&	0,05	&	{\bf 15,07} \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Erro percentual por constante, para 3 sistemas a generalizar, usando-se 15 sistemas.}
\label{TAB-ERR-MED-CONST15}
\end{center}
\end{table}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,height=18cm]{m28lr.eps}
\caption{Potencial de longo alcance usando-se conjunto de dados com 28 sistemas.
A linha com s\'{\i}mbolos representa o potencial calculado pela rede e a linha cheio o potencial 
real.}
\label{FIG28LR}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,height=18cm]{m28pot.eps}
\caption{Potencial total usando-se conjunto de dados com 28 sistemas.
A linha com s\'{\i}mbolos representa o potencial calculado pela rede e a linha cheia o potencial 
real.}
\label{FIG28POT}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,height=18cm]{m15lr.eps}
\caption{Potencial de longo alcance usando-se conjunto de dados com 15 sistemas.
A linha com s\'{\i}mbolos representa o potencial calculado pela rede e a linha cheio o potencial 
real.}
\label{FIG15LR}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,height=18cm]{m15pot.eps}
\caption{Potencial total usando-se conjunto de dados com 15 sistemas.
A linha com s\'{\i}mbolos representa o potencial calculado pela rede e a linha cheio o potencial 
real.}
\label{FIG15POT}
\end{center}
\end{figure}
